Итак, всем давно известно, что на ноль делить нельзя. А вот почему нельзя математики умалчивают.
Я попробую доказать обратное, используя формулы и выкладки выдающегося математика Эйлера (чей авторитет думаю никто оспаривать не будет), а для того чтобы не делать все вручную буду использовать такой замечательный инструмент как Maple 10
Итак начнем с простого, создадим пустой лист maple и попробуем его сначала попросить разделить 1 на 0.
Maple обиделся и выдал ошибку, что так делать нельзя. За это его трудно винить ибо он всего лишь программа и в нем так заложено. Однако мы помним о такой вещи как пределы и о том что есть гармоническая функция f=1/x и если поискать предел этой функции устремив x к нулю, по идее должна получиться бесконечность. Пробуем...
Облом, не определено. Создатели Mapl пофиксили и тут дабы не волновать неокрепшие умы. Пробуем еще раз, предположив что 1/0=бесконечность (исходя из предела функции 1/x) найти чему тогда будет равен 0 умноженный на бесконечность (как обратное проверочное действие).
Опять неопределенность. Хотя по логике любое число помноженное на ноль вроде бы ноль... но и тут в программе принудительно все пофиксили. Хорошо, раз Maple не хочет по хорошему, мы пойдем иным путем (как завещал ныне живущий в мавзолее ) и вспомним про такую замечательную штуку как факториалы. Кто не помнит что сие такое лезем на вики и читаем https://ru.wikipedia.org/wiki/Факториал
В общем согласно определения это достаточно простая вещь - произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Обозначается в математике восклицательным знаком. Так 5!=1*2*3*4*5=120 и так далее. Все просто, но тут же в википедии можно прочитать "По общепринятому соглашению, 0!=1" А вот с этим гораздо интереснее, откуда у нуля факториал если согласно определения множатся числа с 1 а не с нуля, а если множить с 0 то все равно будет 0. На эту тему даже некий Сергей Мишин очень эмоционально высказался тут, однако (для Сергея Мишина) матанализ это такая штука, что иной раз начав с привычного определения "произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно" вдруг выясняется что это лишь частный случай чего-то другого более емкого, в том числе в себя и факториал 0 включающего. Но кроме факториала нуля есть оказывается еще и факториалы дробных чисел, а их совсем непонятно как считать согласно классического определения факториала, но тем не менее их считает даже обычный виндовый калькулятор. Итак чтобы понять что это такое, как получилось и откуда взялось настал момент вспомнить про такую сущность (выведенную господином Эйлером) как Гамма-функция, при помощи которой все это безобразие и считается. Кто не знает что это такое может также почитать об этом на википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/Гамма-функция
Выводить ее или доказывать я не буду (у меня нет сомнений в трудах Эйлера), а сразу определим ее в Maple как ее вывел г-н Эйлер (и как она приведена в википедии) и сразу же будем пользоваться
Теперь у нас есть функция G(x), передав которой в качестве x какое либо число получим результат вычисления гамма-функции для этого числа. Далее для вычисления любого факториала, в том числе и дробного, будем пользоваться известным тождеством x!=G(x+1)=x*G(x) (есть также на вики в статье про Гамма-функцию). Итак проверяем:
Вроде бы как для целых так и для дробных чисел считает верно (желающие могут проверить в виндовом калькуляторе), то есть с определением Гамма-функции мы не ошиблись и все работает как завещал г-н Эйлер  Далее осталось выяснить, как же было получено значение для факториала нуля. Согласно первого соотношения x!=G(x+1) 0!=G(0+1)=G(1) Проверяем что нам даст Гамма-функция получив аргументом 1
Итак, согласно гамма-функции 0!=1 Но у нас есть еще и второе соотношение x!=x*G(x), тогда 0!= 0*G(0); Вроде бы факториал нуля известен уже и равен 1, далее справа стоит 0 помноженный на некоторое значение Гамма функции, которое согласно уже известному должно в результате дать 1. Осталось выяснить, чему же равно G(0)
То есть значение гамма-функции от нуля равно бесконечности, и тогда факториал нуля равен нулю умноженному на бесконечность что уже как было договорено математиками (и исходя из результатов гамма функции) равняется единице
Из чего логично получается, что на ноль делить можно и итогом сего будет бесконечность.
Итак, что же теперь с этим делать математикам? А ХЗ. Садиться и снова договариваться, можно ли на нуль делить а ли нельзя. Смогли же договориться чему равен факториал нуля? Смогут и тут. Вполне возможно это посыл к некоторому пониманию того факта, что 0 1 и бесконечность не совсем обычные числа и между ними возможны некие курьезные отношения, типа когда произведение на нуль нулю не равняется ;)
Для тех кто самостоятельно хочет все проверить в Maple 10 исходный лист прилагается: http://shyza.ru/forum/download/file.php?id=2893
P.S. Очень хотелось бы услышать мнение о посте выступавшего уже тут в прямом эфире Н.Н.Андреева, а то что-то нет активности вообще в сообществе ;) Источник
